Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$cos²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈$[{\frac{π}{2}，π}]$时，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，从而可求最小周期和最小值；
（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由x∈[$\frac{π}{2}$，π]时，可得x-$\frac{π}{3}$的范围，即可求得g（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$cos²x=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（x）的最小周期T=$\frac{2π}{2}$=π，最小值为：-1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）由条件可知：g（x）=sin（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
当x∈[$\frac{π}{2}$，π]时，有x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，从而sin（x-$\frac{π}{3}$）的值域为[$\frac{1}{2}$，1]，那么sin（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$的值域为：[$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$]，
故g（x）在区间[$\frac{π}{2}$，π]上的值域是[$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．