Question

9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3$\sqrt{15}$，b-c=2，cosA=-$\frac{1}{4}$，则a的值为8．

Answer 1

分析 由cosA=-$\frac{1}{4}$，A∈（0，π），可得sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$．利用S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$3\sqrt{15}$，化为bc=24，又b-c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA即可得出．

解答 解：∵A∈（0，π），∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{15}}{4}$bc=$3\sqrt{15}$，化为bc=24，
又b-c=2，解得b=6，c=4．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=36+16-48×$（-\frac{1}{4}）$=64．
解得a=8．
故答案为：8．

点评 本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．