Question

8．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求该三棱锥的侧面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可．

解答 证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∵BE⊥平面ABCD，
∴AC⊥BE，
则AC⊥平面BED，
∵AC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面BED；
解：（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，得AG=GC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，GB=GD=$\frac{x}{2}$，
∵AE⊥EC，△EBG为直角三角形，
∴EG=$\frac{1}{2}$AC=AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
则BE=$\sqrt{E{G}^{2}-B{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵三棱锥E-ACD的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AC•GD•BE$=$\frac{\sqrt{6}}{24}{x}^{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
解得x=2，即AB=2，
∵∠ABC=120°，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BCcosABC=4+4-2×$2×2×（-\frac{1}{2}）$=12，
即AC=$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
在三个直角三角形EBA，EBG，EBC中，斜边AE=EC=ED，
∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形，
则AE²+EC²=AC²=12，
即2AE²=12，
∴AE²=6，
则AE=$\sqrt{6}$，
∴从而得AE=EC=ED=$\sqrt{6}$，
∴△EAC的面积S=$\frac{1}{2}×EA•EC=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{6}$=3，
在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F，
则AE=$\sqrt{6}$，AF=$\frac{1}{2}AD$=$\frac{1}{2}×2=1$，
则EF=$\sqrt{（\sqrt{6}）^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{5}$，
∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$，
故该三棱锥的侧面积为3+2$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公式．