Question

20．已知函数f（x）=x³+ax+$\frac{1}{4}$，g（x）=-lnx
（i）当 a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；
（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．

Answer 1

分析 （i）f′（x）=3x²+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x₀，0），则f（x₀）=0，f′（x₀）=0解出即可．
（ii）对x分类讨论：当x∈（1，+∞）时，g（x）=-lnx＜0，可得函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零点的个数．
当x=1时，对a分类讨论：a≥-$\frac{5}{4}$，a＜-$\frac{5}{4}$，即可得出零点的个数；
当x∈（0，1）时，g（x）=-lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．对a分类讨论：①当a≤-3或a≥0时，②当-3＜a＜0时，利用导数研究其单调性极值即可得出．

解答 解：（i）f′（x）=3x²+a．
设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x₀，0），则f（x₀）=0，f′（x₀）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}^{3}+a{x}_{0}+\frac{1}{4}=0}\\{3{x}_{0}^{2}+a=0}\end{array}\right.$，解得${x}_{0}=\frac{1}{2}$，a=$-\frac{3}{4}$．
因此当a=-$\frac{3}{4}$时，x轴为曲线y=f（x）的切线；
（ii）当x∈（1，+∞）时，g（x）=-lnx＜0，
∴函数h（x）=min { f（x），g（x）}＜0，
故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点．
当x=1时，若a≥-$\frac{5}{4}$，则f（1）=a+$\frac{5}{4}$≥0，
∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点；
若a＜-$\frac{5}{4}$，则f（1）=a+$\frac{5}{4}$＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1不是函数h（x）的零点；
当x∈（0，1）时，g（x）=-lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．
①当a≤-3或a≥0时，f′（x）=3x²+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，
而f（0）=$\frac{1}{4}$，f（1）=a+$\frac{5}{4}$，∴当a≤-3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，
当a≥0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．
②当-3＜a＜0时，函数f（x）在$（0，\sqrt{\frac{-a}{3}}）$内单调递减，在$（\sqrt{\frac{-a}{3}}，1）$内单调递增，故当x=$\sqrt{\frac{-a}{3}}$时，f（x）取得最小值$f（\sqrt{\frac{-a}{3}}）$=$\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{-a}{3}}+\frac{1}{4}$．
若$f（\sqrt{\frac{-a}{3}}）$＞0，即$-\frac{3}{4}＜a＜0$，则f（x）在（0，1）内无零点．
若$f（\sqrt{\frac{-a}{3}}）$=0，即a=-$\frac{3}{4}$，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．
若$f（\sqrt{\frac{-a}{3}}）$＜0，即$-3＜a＜-\frac{3}{4}$，由f（0）=$\frac{1}{4}$，f（1）=a+$\frac{5}{4}$，
∴当$-\frac{5}{4}＜a＜-\frac{3}{4}$时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当-3＜a$≤-\frac{5}{4}$时，f（x）在（0，1）内有一个零点．
综上可得：a＜$-\frac{5}{4}$时，函数h（x）有一个零点．
当$a＞-\frac{3}{4}$时，h（x）有一个零点；
当a=$-\frac{3}{4}$或$-\frac{5}{4}$时，h（x）有两个零点；
当$-\frac{5}{4}＜a＜-\frac{3}{4}$时，函数h（x）有三个零点．

点评 本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．