Question

11．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-a，}&{x＜1}\\{4（x-a）（x-2a），}&{x≥1}\end{array}\right.$，
①若a=1，则f（x）的最小值为-1；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是$\frac{1}{2}$≤a＜1或a≥2．

Answer 1

分析 ①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；
②分别设h（x）=2^x-a，g（x）=4（x-a）（x-2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．

解答 解：①当a=1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，x＜1}\\{4（x-1）（x-2），x≥1}\end{array}\right.$，
当x＜1时，f（x）=2^x-1为增函数，f（x）＞-1，
当x＞1时，f（x）=4（x-1）（x-2）=4（x²-3x+2）=4（x-$\frac{3}{2}$）²-1，
当1＜x＜$\frac{3}{2}$时，函数单调递减，当x＞$\frac{3}{2}$时，函数单调递增，
故当x=$\frac{3}{2}$时，f（x）_min=f（$\frac{3}{2}$）=-1，
②设h（x）=2^x-a，g（x）=4（x-a）（x-2a）
若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，
所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2-a＞0，所以0＜a＜2，
而函数g（x）=4（x-a）（x-2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，
所以$\frac{1}{2}$≤a＜1，
若函数h（x）=2^x-a在x＜1时，与x轴没有交点，
则函数g（x）=4（x-a）（x-2a）有两个交点，
当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），
当h（1）=2-a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x₁=a，x₂=2a，都是满足题意的，
综上所述a的取值范围是$\frac{1}{2}$≤a＜1，或a≥2．

点评 本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．