Question

19．设函数f（x）=lnx+a（1-x）．
（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；
（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；
（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a-1，根据函数的单调性即可求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1-x）的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
若a＞0，则当x∈（0，$\frac{1}{a}$）时，f′（x）＞0，当x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递减，
（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=$\frac{1}{a}$取得最大值，最大值为f（$\frac{1}{a}$）=-lna+a-1，
∵f（$\frac{1}{a}$）＞2a-2，
∴lna+a-1＜0，
令g（a）=lna+a-1，
∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，
∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，
当a＞1时，g（a）＞0，
∴a的取值范围为（0，1）．

点评 本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．