Question

8．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[-1，1]上的最大值．
（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；
（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．

Answer 1

分析 （1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；
（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到-3≤a+b≤1且-3≤b-a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．

解答 解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（-1）=1-a+b，对称轴为x=-$\frac{a}{2}$，
因为|a|≥2，所以$-\frac{a}{2}≤-1$或$-\frac{a}{2}$≥1，
所以函数f（x）在[-1，1]上单调，
所以M（a，b）=max{|f（1），|f（-1）|}=max{|1+a+b|，|1-a+b|}，
所以M（a，b）≥$\frac{1}{2}$（|1+a+b|+|1-a+b|）≥$\frac{1}{2}$|（1+a+b）-（1-a+b）|≥$\frac{1}{2}$|2a|=|a|≥2；
（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；
又对任意x∈[-1，1]．有-2≤x²+ax+b≤2，
得到-3≤a+b≤1且-3≤b-a≤1，-2≤$\frac{4b-{a}^{2}}{4}$≤2，
易知（|a|+|b|）_max=max{|a-b|，|a+b|}=3，在b=-1，a=2时符合题意，
所以|a|+|b|的最大值为3．

点评 本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[-1，1]上的最大值，以及利用绝对值不等式变形．