Question

3．函数f（x）=sin²x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]（k∈Z）．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{2}$，易得最小正周期，解不等式2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得函数的单调递减区间．

解答 解：化简可得f（x）=sin²x+sinxcosx+1
=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\frac{1}{2}$sin2x+1
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{2}$，
∴原函数的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得kπ+$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{8}$，
∴函数的单调递减区间为[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]（k∈Z）
故答案为：π；[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]（k∈Z）

点评 本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．