Question

11．已知函数f（x）=sin²x-sin²（x-$\frac{π}{6}$），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]内的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=-$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），由周期公式可得；
（Ⅱ）由x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．

解答 解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin²x-sin²（x-$\frac{π}{6}$）
=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）-$\frac{1}{2}$[1-cos（2x-$\frac{π}{3}$）]
=$\frac{1}{2}$（1-cos2x-1+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）
=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（Ⅱ）∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，∴$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]，
∴f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]内的最大值和最小值分别为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{1}{2}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题．