Question

1．如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．
（1）证明：PE⊥FG；
（2）求二面角P-AD-C的正切值；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）通过△PDC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；
（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P-AD-C的平面角，利用勾股定理即得结论；
（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC的余弦值．

解答 （1）证明：在△PDC中PO=PC且E为CD中点，
∴PE⊥CD，
又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE?平面PCD，
∴PE⊥平面ABCD，
又∵FG?平面ABCD，
∴PE⊥FG；
（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，
又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，
∴AD⊥平面PDC，
又∵PD?平面PDC，∴AD⊥PD，
又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P-AD-C的平面角，
在Rt△PDE中，由勾股定理可得：
PE=$\sqrt{P{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴tan∠PDC=$\frac{PG}{DG}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$；
（3）解：连结AC，则AC=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
在Rt△ADP中，AP=$\sqrt{A{D}^{2}+D{P}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵AF=2FB，CG=2GB，
∴FG∥AC，
∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC，
在△PAC中，由余弦定理得
cos∠PAC=$\frac{P{A}^{2}+A{C}^{2}-P{C}^{2}}{2PA•AC}$
=$\frac{{5}^{2}+（3\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}{2×5×3\sqrt{5}}$
=$\frac{9}{25}\sqrt{5}$．

点评 本题考查线线垂直的判定、二面角及线线角的三角函数值，涉及到勾股定理、余弦定理等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．