Question

2．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），过右焦点F₂，且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于M，N两点，△MNF₁的周长是8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆右顶点为A，直线MA，NA分别交直线l'：x=5于点P，Q，线段PQ的中点为R，记直线F₁R的斜率为k'，求证kk'为定值，并求这个定值．

Answer 1

分析 对于第（1）问，先由焦点坐标，得c的值，再由周长得a²的值，根据b²=a²-c²，得b²，即得椭圆的标准方程；
对于第（2）问，先设出交点P，Q及中点为R的坐标，于是写出直线MA，NA的方程，联立x=5，即可表示P，Q的坐标，从而得R的坐标，接着由两点的斜率公式，写出斜率k'的表达式，再联立直线l与椭圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由韦达定理，得x₁+x₂，x₁x₂，可进一步用k表示k'，最后可计算kk'的值．

解答 解：（1）设焦距为2c，则依题意有c=1．
由△MNF₁的周长是8，（|MF₁|+|MF₂|）+（|NF₁|+|NF₂|）=4a=8，
即得a²=4，从而b²=a²-c²=3，
所以椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）设点M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），点A的坐标为（2，0），
则直线MA，NA的方程分别为：（x₁-2）y=y₁（x-2），（x₂-2）y=y₂（x-2），
联立x=5，得交点P$（5，\frac{3{y}_{1}}{{x}_{1}-2}）$，Q$（5，\frac{3{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）$，
由中点公式，得点R的坐标为$（5，\frac{1}{2}（\frac{{3{y_1}}}{{{x_1}-2}}+\frac{{3{y_2}}}{{{x_2}-2}}））$，
所以$k'=\frac{{\frac{1}{2}（\frac{{3{y_1}}}{{{x_1}-2}}+\frac{{3{y_2}}}{{{x_2}-2}}）}}{5-（-1）}=\frac{1}{4}（\frac{y_1}{{{x_1}-2}}+\frac{y_2}{{{x_2}-2}}）$．
又设直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程中，
得3x²+4k²（x-1）²=12，即（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韦达定理，得${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
所以$kk'=\frac{k^2}{4}•\frac{{（{x_1}-1）（{x_2}-2）+（{x_2}-1）（{x_1}-2）}}{{（{x_1}-2）（{x_2}-2）}}$
=$\frac{k^2}{4}•\frac{{2{x_1}{x_2}-3（{x_1}+{x_2}）+4}}{{{x_1}{x_2}-2（{x_1}+{x_2}）+4}}$=$\frac{k^2}{4}•\frac{{8{k^2}-24-24{k^2}+16{k^2}+12}}{{4{k^2}-12-16{k^2}+16{k^2}+12}}=-\frac{3}{4}$，
即kk'为定值$-\frac{3}{4}$．

点评 本题属定值的证明问题，主要考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的位置关系等，求解时，应注意以下几点：
①椭圆方程的确定，除了隐含条件a²=b²+c²以外，还要寻找关于a，b，c的两个独立的方程；
②对于定值的证明问题，关键是先引入参数（如点的坐标，直线的斜率，纵截距等），再用参数表示所证式，最后通过消参的方式获取定值，其间，韦达定理往往起到重要的作用．