Question

12．若实数x，y满足x²+y²≤1，则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是3．

Answer 1

分析 根据所给x，y的范围，可得|6-x-3y|=6-x-3y，再讨论直线2x+y-2=0将圆x²+y²=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．

解答 解：由x²+y²≤1，可得6-x-3y＞0，即|6-x-3y|=6-x-3y，
如图直线2x+y-2=0将圆x²+y²=1分成两部分，
在直线的上方（含直线），即有2x+y-2≥0，即|2x+y-2|=2x+y-2，
此时|2x+y-2|+|6-x-3y|=（2x+y-2）+（6-x-3y）=x-2y+4，
利用线性规划可得在A（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）处取得最小值3；
在直线的下方（含直线），即有2x+y-2≤0，
即|2x+y-2|=-（2x+y-2），
此时|2x+y-2|+|6-x-3y|=-（2x+y-2）+（6-x-3y）=8-3x-4y，
利用线性规划可得在A（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）处取得最小值3．
综上可得，当x=$\frac{3}{5}$，y=$\frac{4}{5}$时，|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．