Question

7．已知定义在R上的函数f（x）=2^|x-m|-1（m为实数）为偶函数，记a=f（log_0.53），b=f（log₂5），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（　　）

• A． a＜b＜c
• B． a＜c＜b
• C． c＜a＜b
• D． c＜b＜a

Answer 1

分析 根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2^|x|-1，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log_0.53|），b=f（log₂5），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．

解答 解：∵f（x）为偶函数；
∴f（-x）=f（x）；
∴2^|-x-m|-1=2^|x-m|-1；
∴|-x-m|=|x-m|；
（-x-m）²=（x-m）²；
∴mx=0；
∴m=0；
∴f（x）=2^|x|-1；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log_0.53|）=f（log₂3），b=f（log₂5），c=f（0）；
∵0＜log₂3＜log₂5；
∴c＜a＜b．
故选：C．

点评 考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．