Question

17．如图，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点A（0，-1），且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）由题意设直线PQ的方程为y=k（x-1）+1（k≠0），代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）由题设知，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=1，
结合a²=b²+c²，解得a=$\sqrt{2}$，
所以$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）证明：由题意设直线PQ的方程为y=k（x-1）+1（k≠0），
代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
可得（1+2k²）x²-4k（k-1）x+2k（k-2）=0，
由已知得（1，1）在椭圆外，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁x₂≠0，
则x₁+x₂=$\frac{4k（k-1）}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2k（k-2）}{1+2{k}^{2}}$，
且△=16k²（k-1）²-8k（k-2）（1+2k²）＞0，解得k＞0或k＜-2．
则有直线AP，AQ的斜率之和为k_AP+k_AQ=$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}+1}{{x}_{2}}$
=$\frac{k{x}_{1}+2-k}{{x}_{1}}$+$\frac{k{x}_{2}+2-k}{{x}_{2}}$=2k+（2-k）（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=2k+（2-k）•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=2k+（2-k）•$\frac{4k（k-1）}{2k（k-2）}$=2k-2（k-1）=2．
即有直线AP与AQ斜率之和为2．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，属于中档题．