Question

19．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$|$\overrightarrow{b}$|，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$），则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． π

Answer 1

分析 根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．

解答 解：∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$），
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）=0，
即3$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{b}$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=3$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{b}$²=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$²，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{2}{3}{\overrightarrow{b}}^{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{4}$，
故选：A

点评 本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．