Question

11．如题图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=$\frac{π}{2}$．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=$\sqrt{2}$，CE=2EB=2．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD
（Ⅱ）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由线面垂直的判定定理可得；
（Ⅱ）以C为原点，分别以$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CP}$的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，易得$\overrightarrow{ED}$，$\overrightarrow{DP}$，$\overrightarrow{DA}$的坐标，可求平面PAD的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$，平面PCD的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$可取$\overrightarrow{ED}$，由向量的夹角公式可得．

解答 （Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE?平面ABC，∴PC⊥DE，
∵CE=2，CD=DE=$\sqrt{2}$，∴△CDE为等腰直角三角形，
∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，
DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，
∴DE⊥平面PCD
（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=$\frac{π}{4}$，
过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，
由∠ACB=$\frac{π}{2}$得DF∥AC，$\frac{DF}{AC}=\frac{FB}{BC}=\frac{2}{3}$，故AC=$\frac{3}{2}$DF=$\frac{3}{2}$，
以C为原点，分别以$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CP}$的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），P（0，0，3），A（$\frac{3}{2}$，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），
∴$\overrightarrow{ED}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{DP}$=（-1，-1，3），$\overrightarrow{DA}$=（$\frac{1}{2}$，-1，0），
设平面PAD的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DP}=-x-y+3z=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}x-y=0}\end{array}\right.$，
故可取$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（2，1，1），
由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$可取$\overrightarrow{ED}$=（1，-1，0），
∴两法向量夹角的余弦值cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$
∴二面角A-PD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量的夹角是解决问题的关键，属难题．