Question

3．设椭圆E的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为$\frac{{\sqrt{5}}}{10}$．
（1）求E的离心率e；
（2）设点C的坐标为（0，-b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．

Answer 1

分析 （1）通过题意，利用$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MA}$，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为$\frac{{\sqrt{5}}}{10}$，计算即得结论；
（2）通过中点坐标公式解得点N坐标，利用$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{NM}$=0即得结论．

解答 （1）解：设M（x，y），∵A（a，0）、B（0，b），点M在线段AB上且|BM|=2|MA|，
∴$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MA}$，即（x-0，y-b）=2（a-x，0-y），
解得x=$\frac{2}{3}$a，y=$\frac{1}{3}$b，即M（$\frac{2}{3}$a，$\frac{1}{3}$b），
又∵直线OM的斜率为$\frac{{\sqrt{5}}}{10}$，∴$\frac{b}{2a}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{10}$，
∴a=$\sqrt{5}$b，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=2b，
∴椭圆E的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）证明：∵点C的坐标为（0，-b），N为线段AC的中点，
∴N（$\frac{a}{2}$，-$\frac{b}{2}$），∴$\overrightarrow{NM}$=（$\frac{a}{6}$，$\frac{5b}{6}$），
又∵$\overrightarrow{AB}$=（-a，b），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{NM}$=（-a，b）•（$\frac{a}{6}$，$\frac{5b}{6}$）=-$\frac{1}{6}$a²+$\frac{5}{6}{b}^{2}$=$\frac{1}{6}$（5b²-a²），
由（1）可知a²=5b²，故$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{NM}$=0，即MN⊥AB．

点评 本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、注意解题方法的积累，属于中档题．