Question

19．如图，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得$\frac{|QA|}{|QB|}=\frac{|PA|}{|PB|}$恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过直线l平行于x轴时被椭圆E截得的线段长为2$\sqrt{2}$及离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，计算即得结论；
（Ⅱ）通过直线l与x轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l，均有$\frac{|QA|}{|QB|}=\frac{|PA|}{|PB|}$即可．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2$\sqrt{2}$，
∴点（$\sqrt{2}$，1）在椭圆E上，
又∵离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}-{b}^{2}={c}^{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得$\frac{|QA|}{|QB|}=\frac{|PA|}{|PB|}$恒成立．
理由如下：
当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，
如果存在定点Q满足条件，则有$\frac{|QC|}{|QD|}$=$\frac{|PC|}{|PD|}$=1，即|QC|=|QD|．
∴Q点在直线y轴上，可设Q（0，y₀）．
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点，
则M、N的坐标分别为（0，$\sqrt{2}$）、（0，-$\sqrt{2}$），
又∵$\frac{|QM|}{|QN|}$=$\frac{|PM|}{|PN|}$，∴$\frac{|{y}_{0}-\sqrt{2}|}{{|y}_{0}+\sqrt{2}|}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$，解得y₀=1或y₀=2．
∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．
下面证明：对任意直线l，均有$\frac{|QA|}{|QB|}=\frac{|PA|}{|PB|}$．
当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，
A、B的坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，消去y并整理得：（1+2k²）x²+4kx-2=0，
∵△=（4k）²+8（1+2k²）＞0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k，
已知点B关于y轴对称的点B′的坐标为（-x₂，y₂），
又k_AQ=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}}$=$\frac{k{x}_{1}-1}{{x}_{1}}$=k-$\frac{1}{{x}_{1}}$，k_QB′=$\frac{{y}_{2}-2}{-{x}_{2}}$=$\frac{k{x}_{2}-1}{-{x}_{2}}$=-k+$\frac{1}{{x}_{2}}$=k-$\frac{1}{{x}_{1}}$，
∴k_AQ=k_QB′，即Q、A、B′三点共线，
∴$\frac{|QA|}{|QB|}$=$\frac{|QA|}{|QB′|}$=$\frac{|{x}_{1}|}{|{x}_{2}|}$=$\frac{|PA|}{|PB|}$．
故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得$\frac{|QA|}{|QB|}=\frac{|PA|}{|PB|}$恒成立．

点评 本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题．