Question

6．已知x，y∈R，向量$\overrightarrow{α}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$是矩阵$[\begin{array}{l}{x}&{1}\\{y}&{0}\end{array}]$的属于特征值-2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．

Answer 1

分析 利用A$\overrightarrow{α}$=-2$\overrightarrow{α}$，可得A=$[\begin{array}{l}{-1}&{1}\\{2}&{0}\end{array}]$，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．

解答 解：由已知，可得A$\overrightarrow{α}$=-2$\overrightarrow{α}$，即$[\begin{array}{l}{x}&{1}\\{y}&{0}\end{array}]$ $[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x-1}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-2}\\{2}\end{array}]$，
则$\left\{\begin{array}{l}{x-1=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴矩阵A=$[\begin{array}{l}{-1}&{1}\\{2}&{0}\end{array}]$，
从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ-1），
∴矩阵A的另一个特征值为1．

点评 本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．