Question

14．已知数列{a_n}满足：a₁∈N^*，a₁≤36，且a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，}&{{a}_{n}≤18}\\{2{a}_{n}-36，}&{{a}_{n＞18}}\end{array}\right.$（n=1，2，…），记集合M={a_n|n∈N^*}．
（Ⅰ）若a₁=6，写出集合M的所有元素；
（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a₁=6，利用a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，}&{{a}_{n}≤18}\\{2{a}_{n}-36，}&{{a}_{n＞18}}\end{array}\right.$可求得集合M的所有元素为6，12，24；
（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a_k是3的倍数，由a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，}&{{a}_{n}≤18}\\{2{a}_{n}-36，}&{{a}_{n＞18}}\end{array}\right.$（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a_n是3的倍数；
（Ⅲ）分a₁是3的倍数与a₁不是3的倍数讨论，即可求得集合M的元素个数的最大值．

解答 解：（Ⅰ）若a₁=6，由于a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，}&{{a}_{n}≤18}\\{2{a}_{n}-36，}&{{a}_{n＞18}}\end{array}\right.$（n=1，2，…），M={a_n|n∈N^*}．
故集合M的所有元素为6，12，24；
（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a_k是3的倍数，由a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，}&{{a}_{n}≤18}\\{2{a}_{n}-36，}&{{a}_{n＞18}}\end{array}\right.$（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a_n是3的倍数．
如果k=1，M的所有元素都是3的倍数；
如果k＞1，因为a_k=2a_k-1，或a_k=2a_k-1-36，所以2a_k-1是3的倍数；于是a_k-1是3的倍数；
类似可得，a_k-2，…，a₁都是3的倍数；
从而对任意n≥1，a_n是3的倍数；
综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数
（Ⅲ）对a₁≤36，a_n=$\left\{\begin{array}{l}2{a}_{n-1}，&{a}_{n}≤18\\ 2{a}_{n-1}-36，&{a}_{n＞18}\end{array}\right.$（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a_n＜36（n=2，3，…）
因为a₁是正整数，a₂=$\left\{\begin{array}{l}2{a}_{1}，{a}_{1}≤18\\ 2{a}_{1}-36，{a}_{1}＞18\end{array}\right.$，所以a₂是2的倍数．
从而当n≥2时，a_n是2的倍数．
如果a₁是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a_n是3的倍数．
因此当n≥3时，a_n∈{12，24，36}，这时M的元素个数不超过5．
如果a₁不是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a_n不是3的倍数．
因此当n≥3时，a_n∈{4，8，16，20，28，32}，这时M的元素个数不超过8．
当a₁=1时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．
综上可知，集合M的元素个数的最大值为8．

点评 本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．