Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-|x|，x≤2}\\{（x-2）^{2}，x＞2}\end{array}\right.$，函数g（x）=b-f（2-x），其中b∈R，若函数y=f（x）-g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{7}{4}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{7}{4}$）
• C． （0，$\frac{7}{4}$）
• D． （$\frac{7}{4}$，2）

Answer 1

分析 求出函数y=f（x）-g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2-x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：∵g（x）=b-f（2-x），
∴y=f（x）-g（x）=f（x）-b+f（2-x），
由f（x）-b+f（2-x）=0，得f（x）+f（2-x）=b，
设h（x）=f（x）+f（2-x），
若x≤0，则-x≥0，2-x≥2，
则h（x）=f（x）+f（2-x）=2+x+x²，
若0≤x≤2，则-2≤-x≤0，0≤2-x≤2，
则h（x）=f（x）+f（2-x）=2-x+2-|2-x|=2-x+2-2+x=2，
若x＞2，-x＜-2，2-x＜0，
则h（x）=f（x）+f（2-x）=（x-2）²+2-|2-x|=x²-5x+8．
即h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2，}&{x≤0}\\{2，}&{0＜x≤2}\\{{x}^{2}-5x+8，}&{x＞2}\end{array}\right.$，
作出函数h（x）的图象如图：
当x≤0时，h（x）=2+x+x²=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$≥$\frac{7}{4}$，
当x＞2时，h（x）=x²-5x+8=（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{7}{4}$≥$\frac{7}{4}$，
故当b=$\frac{7}{4}$时，h（x）=b，有两个交点，
当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，
由图象知要使函数y=f（x）-g（x）恰有4个零点，
即h（x）=b恰有4个根，
则满足$\frac{7}{4}$＜b＜2，
故选：D．

点评 本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．