Question

6．如图，椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率是$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，点P（0，1）在短轴CD上，且$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-1
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$、$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-1，计算即得a=2、b=$\sqrt{2}$，进而可得结论；
（Ⅱ）分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当λ=1时$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-3；②当直线AB的斜率不存在时，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-3．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，-b），D（0，b），
又∵P（0，1），且$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-{b}^{2}=-1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}-{b}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）结论：存在常数λ=1，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$为定值-3．
理由如下：
对直线AB斜率的存在性进行讨论：
①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，消去y并整理得：（1+2k²）x²+4kx-2=0，
∵△=（4k）²+8（1+2k²）＞0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，
从而$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=x₁x₂+y₁y₂+λ[x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）]
=（1+λ）（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=$\frac{（-2λ-4）{k}^{2}+（-2λ-1）}{1+2{k}^{2}}$
=-$\frac{λ-1}{1+2{k}^{2}}$-λ-2．
∴当λ=1时，-$\frac{λ-1}{1+2{k}^{2}}$-λ-2=-3，
此时$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-3为定值；
②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，
此时$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=-2-1=-3；
故存在常数λ=1，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$为定值-3．

点评 本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题．