Question

14£®ÈçÌâͼ£¬ÍÖÔ²$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1£¨a£¾b£¾0£©µÄ×óÓÒ½¹µã·Ö±ðΪF₁£¬F₂£¬ÇÒ¹ýF₂µÄÖ±Ïß½»ÍÖÔ²ÓÚP£¬QÁ½µã£¬ÇÒPQ¡ÍPF₁£®
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Answer 1

·ÖÎö £¨I£©ÓÉÍÖÔ²µÄ¶¨Òå¿ÉµÃ£º2a=|PF₁|+|PF₂|£¬½âµÃa£®ÉèÍÖÔ²µÄ°ë½¹¾àΪc£¬ÓÉÓÚPQ¡ÍPF₁£¬ÀûÓù´¹É¶¨Àí¿ÉµÃ2c=|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}$£¬½âµÃc£®ÀûÓÃb²=a²-c²£®¼´¿ÉµÃ³öÍÖÔ²µÄ±ê×¼·½³Ì£®
£¨II£©ÈçͼËùʾ£¬ÓÉPQ¡ÍPF₁£¬|PQ|=¦Ë|PF₁|£¬¿ÉµÃ|QF₁|=$\sqrt{1+{¦Ë}^{2}}|P{F}_{1}|$£¬ÓÉÍÖÔ²µÄ¶¨Òå¿ÉµÃ£º|PF₁|+|PQ|+|QF₁|=4a£¬½âµÃ|PF₁|=$\frac{4a}{1+¦Ë+\sqrt{1+{¦Ë}^{2}}}$£®|PF₂|=2a-|PF₁|£¬Óɹ´¹É¶¨Àí¿ÉµÃ£º2c=|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}$£¬´úÈ뻯¼ò£®Áît=1+¦Ë$+\sqrt{1+{¦Ë}^{2}}$£¬ÔòÉÏʽ»¯Îªe²=$8£¨\frac{1}{t}-\frac{1}{4}£©^{2}+\frac{1}{2}$£¬½â³ö¼´¿É£®

½â´ð ½â£º£¨I£©ÓÉÍÖÔ²µÄ¶¨Òå¿ÉµÃ£º2a=|PF₁|+|PF₂|=£¨2+$\sqrt{2}$£©+£¨2-$\sqrt{2}$£©=4£¬½âµÃa=2£®
ÉèÍÖÔ²µÄ°ë½¹¾àΪc£¬¡ßPQ¡ÍPF₁£¬
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