Question

2．设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A₁，A₂，过F做A₁A₂的垂线与双曲线交于B，C两点，若A₁B⊥A₂C，则该双曲线的渐近线的斜率为（　　）

• A． ±$\frac{1}{2}$
• B． ±$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． ±1
• D． ±$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求得A₁（-a，0），A₂（a，0），B（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），C（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），利用A₁B⊥A₂C，可得$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c+a}•\frac{-\frac{{b}^{2}}{a}}{c-a}=-1$，求出a=b，即可得出
双曲线的渐近线的斜率．

解答 解：由题意，A₁（-a，0），A₂（a，0），B（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），C（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），
∵A₁B⊥A₂C，
∴$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c+a}•\frac{-\frac{{b}^{2}}{a}}{c-a}=-1$，
∴a=b，
∴双曲线的渐近线的斜率为±1．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的性质，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．