Question

10．已知函数f（x）=sin（${\frac{π}{2}$-x）sinx-$\sqrt{3}$cos²x．
（I）求f（x）的最小正周期和最大值；
（II）讨论f（x）在[${\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}}$]上的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值．
（Ⅱ）根据2x-$\frac{π}{3}$∈[0，π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f（x）在$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上的单调性．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（${\frac{π}{2}$-x）sinx-$\sqrt{3}{cos^2}$x=cosxsinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2x）
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故函数的周期为$\frac{2π}{2}$=π，最大值为1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）当x∈$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$ 时，2x-$\frac{π}{3}$∈[0，π]，故当0≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$时，即x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]时，f（x）为增函数；
当$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤π时，即x∈[$\frac{5π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]时，f（x）为减函数．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．