Question

12．已知函数f（x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$，
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞$2（x+\frac{{x}^{3}}{3}）$；
（Ⅲ）设实数k使得f（x）$＞k（x+\frac{{x}^{3}}{3}）$对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．
（2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．
（3）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围．

解答 解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）所以
$f'（x）=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}，f'（0）=2$
又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．
（2）证明：令g（x）=f（x）-2（x+$\frac{{x}^{3}}{3}$），则
g'（x）=f'（x）-2（1+x²）=$\frac{2{x}^{4}}{1-{x}^{2}}$，
因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．
所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），
即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+$\frac{{x}^{3}}{3}$）．
（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）＞$k（x+\frac{{x}^{3}}{3}）$对x∈（0，1）恒成立．
当k＞2时，令h（x）=f（x）-$k（x+\frac{{x}^{3}}{3}）$，则
h'（x）=f'（x）-k（1+x²）=$\frac{{kx}^{4}-（k-2）}{1-{x}^{2}}$，
所以当$0＜x＜\root{4}{\frac{k-2}{k}}$时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，$\root{4}{\frac{k-2}{k}}$）上单调递减．
当$0＜x＜\root{4}{\frac{k-2}{k}}$时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜$k（x+\frac{{x}^{3}}{3}）$．
所以当k＞2时，f（x）＞$k（x+\frac{{x}^{3}}{3}）$并非对x∈（0，1）恒成立．
综上所知，k的最大值为2．

点评 本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型，难度适中．