Question

9．已知等差数列{a_n}满足a₃=2，前3项和S₃=$\frac{9}{2}$．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=a₁₅，求{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）求出${b}_{1}=1，{b}_{4}={a}_{15}=\frac{15+1}{2}=8$，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n项和公式求得{b_n}前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，则由已知条件得：
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=2}\\{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
代入等差数列的通项公式得：${a}_{n}=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，${b}_{1}=1，{b}_{4}={a}_{15}=\frac{15+1}{2}=8$．
设{b_n}的公比为q，则${q}^{3}=\frac{{b}_{4}}{{b}_{1}}=8$，从而q=2，
故{b_n}的前n项和${T}_{n}=\frac{{b}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}=\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n}-1$．

点评 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．