Question

2．在直角坐标系xOy中，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=2sinθ，C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．
（1）求C₂与C₃交点的直角坐标；
（2）若C₁与C₂相交于点A，C₁与C₃相交于点B，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （I）由曲线C₂：ρ=2sinθ，化为ρ²=2ρsinθ，把$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得直角坐标方程．同理由C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C₂与C₃交点的直角坐标．
（2）由曲线C₁的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠$\frac{π}{2}$；α=$\frac{π}{2}$时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=$|2sinα-2\sqrt{3}cosα|$即可得出．

解答 解：（I）由曲线C₂：ρ=2sinθ，化为ρ²=2ρsinθ，
∴x²+y²=2y．
同理由C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．可得直角坐标方程：${x}^{2}+{y}^{2}=2\sqrt{3}x$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2\sqrt{3}x=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴C₂与C₃交点的直角坐标为（0，0），$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}）$．
（2）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠$\frac{π}{2}$；α=$\frac{π}{2}$时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），
∵A，B都在C₁上，
∴A（2sinα，α），B$（2\sqrt{3}cosα，α）$．
∴|AB|=$|2sinα-2\sqrt{3}cosα|$=4$|sin（α-\frac{π}{3}）|$，
当$α=\frac{5π}{6}$时，|AB|取得最大值4．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．