Question

12．已知函数f（x）=ax³+x²（a∈R）在x=$-\frac{4}{3}$处取得极值．
（Ⅰ）确定a的值；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）e^x，讨论g（x）的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，利用f（x）=ax³+x²（a∈R）在x=$-\frac{4}{3}$处取得极值，可得f′（-$\frac{4}{3}$）=0，即可确定a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（$\frac{1}{2}$x³+x²）e^x，利用导数的正负可得g（x）的单调性．

解答 解：（Ⅰ）对f（x）求导得f′（x）=3ax²+2x．
∵f（x）=ax³+x²（a∈R）在x=$-\frac{4}{3}$处取得极值，
∴f′（-$\frac{4}{3}$）=0，
∴3a•$\frac{16}{9}$+2•（-$\frac{4}{3}$）=0，
∴a=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（$\frac{1}{2}$x³+x²）e^x，
∴g′（x）=（$\frac{3}{2}$x²+2x）e^x+（$\frac{1}{2}$x³+x²）e^x=$\frac{1}{2}$x（x+1）（x+4）e^x，
令g′（x）=0，解得x=0，x=-1或x=-4，
当x＜-4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当-4＜x＜-1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；
当-1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；
综上知g（x）在（-∞，-4）和（-1，0）内为减函数，在（-4，-1）和（0，+∞）内为增函数．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论的思想方法，以及函数和方程的转化思想，属于中档题．