Question

10．已知集合X={1，2，3}，Y_n={1，2，3，…，n）（n∈N^*），设S_n={（a，b）|a整除b或b整除a，a∈X，B∈Y_n}，令f（n）表示集合S_n所含元素的个数．
（1）写出f（6）的值；
（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）f（6）=6+2+$\frac{6}{2}$+$\frac{6}{3}$=13；
（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．

解答 解：（1）f（6）=6+2+$\frac{6}{2}$+$\frac{6}{3}$=13；
（2）当n≥6时，f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{n+2+（\frac{n}{2}+\frac{n}{3}），n=6t}\\{n+2+（\frac{n-1}{2}+\frac{n-1}{3}），n=6t+1}\\{n+2+（\frac{n}{2}+\frac{n-2}{3}），n=6t+2}\\{n+2+（\frac{n-1}{2}+\frac{n}{3}），n=6t+3}\\{n+2+（\frac{n}{2}+\frac{n-1}{3}），n=6t+4}\\{n+2+（\frac{n-1}{2}+\frac{n-2}{3}），n=6t+5}\end{array}\right.$．
下面用数学归纳法证明：
①n=6时，f（6）=6+2+$\frac{6}{2}$+$\frac{6}{3}$=13，结论成立；
②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S_k+1在S_k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：
1）若k+1=6t，则k=6（t-1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2+$\frac{k+1}{2}$+$\frac{k+1}{3}$，结论成立；
2）若k+1=6t+1，则k=6t，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+$\frac{k}{2}$+$\frac{k}{3}$+1=（k+1）+2+$\frac{（k+1）-1}{2}$+$\frac{（k+1）-1}{3}$，结论成立；
3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+$\frac{k-1}{2}$+$\frac{k-1}{3}$+2=（k+1）+2+$\frac{k+1}{2}$+$\frac{（k+1）-2}{3}$，结论成立；
4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+$\frac{k}{2}$+$\frac{k-2}{3}$+2=（k+1）+2+$\frac{（k+1）-1}{2}$+$\frac{k+1}{3}$，结论成立；
5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+$\frac{k-1}{2}$+$\frac{k}{3}$+2=（k+1）+2+$\frac{k+1}{2}$+$\frac{（k+1）-1}{3}$，结论成立；
6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+$\frac{k}{2}$+$\frac{k-1}{3}$+2=（k+1）+2+$\frac{（k+1）-1}{2}$+$\frac{（k+1）-2}{3}$，结论成立．
综上所述，结论f（n）=n+[$\frac{n}{2}$]+[$\frac{n}{3}$]+2，对满足n≥6的自然数n均成立．

点评 本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．