Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点F（-1，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设P（1，0），Q（$\frac{5}{4}$，0），过P的直线l交椭圆C于A，B两点，求$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$的值．

Answer 1

分析 对第（1）问，由左焦点坐标，得c的值，由离心率，得a与c的关系，再根据a²=b²+c²，可得a²与b²；
对第（2）问，先求解直线l的斜率不存在时，$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$的值，当l的斜率存在时，设出直线l的方程及A，B的坐标，可得$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$的表达式，联立直线l与椭圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由韦达定理，得x₁+x₂，x₁x₂，代入$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$的表达式中，即可达到目的．

解答 解：（1）设椭圆的焦距为2c，由左焦点F（-1，0），得c=1，
由离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，又a²=b²+c²，
联立此三式，得a²=2，b²=1，故椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）依题意，P（1，0），Q（$\frac{5}{4}$，0），直线l过点P，
若直线l的斜率不存在，则$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=（\frac{1}{2}+\frac{3}{4}）^{2}-2=-\frac{7}{16}$．
当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\overrightarrow{QA}=（{x}_{1}-\frac{5}{4}，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{QB}=（{x}_{2}-\frac{5}{4}{，y}_{2}）$，
从而，$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$=$（{x}_{1}-\frac{5}{4}）（{x}_{2}-\frac{5}{4}）+{y}_{1}{y}_{2}$
=$（{x}_{1}-\frac{5}{4}）（{x}_{2}-\frac{5}{4}）+{k}^{2}（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）$
=$（{k}^{2}+1）{x}_{1}{x}_{2}-（{k}^{2}+\frac{5}{4}）（{x}_{1}+{x}_{2}）$$+\frac{25}{16}+{k}^{2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
由韦达定理，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
故$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$=$\frac{25}{16}-2=-\frac{7}{16}$．

点评 本题主要考查了椭圆标准方程的求解，直线与椭圆相交的位置关系等，求解时应考虑以下几点：
①求椭圆方程时，关键是寻找关于a，b，c的三个独立的方程，其中a²=b²+c²是已知的隐含条件．
②对于向量问题，常用技巧是：先将向量坐标化，转化为数量问题，再设法利用韦达定理进行整体代入求解．