Question

（2012•邯郸一模）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=log₂（|x-1|+|x+2|-a）．
（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得，|x-1|+|x+2|＞7，故有：

x≥1 x-1+x+2＞7

，或

-2＜x＜1 -x+1+x+2＞7

，或

x≤-2 -x+1-x-2＞7

，把各个不等式组的解集取并集，即得所求．
（Ⅱ）由不等式可得|x-1|+|x+2|≥a+8恒成立，再由|x-1|+|x+2|的最小值等于3，故有a+8≤3，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题设知：|x-1|+|x+2|＞7，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：

x≥1 x-1+x+2＞7

，或

-2＜x＜1 -x+1+x+2＞7

，或

x≤-2 -x+1-x-2＞7

…（3分）
解得函数f（x）的定义域为（-∞，-4）∪（3，+∞）；     …（5分）
（Ⅱ）不等式f（x）≥3，即|x-1|+|x+2|≥a+8，
∵x∈R时，恒有|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，…（8分）
∵不等式|x-1|+|x+2|≥a+8解集是R，
∴a+8≤3，
∴a的取值范围是（-∞，-5]．            …（10分）

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．