Question

（本小题满分12分）

已知方向向量为v=(1,)的直线l过点（0，－2）和椭圆C：

 

的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cot∠MON ≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存

 

在，请说明理由.

 

 

 

Answer 1

【答案】

（I）解法一：直线，  ①

过原点垂直的直线方程为，  ②

解①②得

∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，

 

∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.

  故椭圆C的方程为  ③

 

解法二：直线.

设原点关于直线对称点为（p，q），则解得p=3.

 

∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，

    ∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.

 

  故椭圆C的方程为  ③

（II）解法一：设M（），N（）.

当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得

 

 

点O到直线MN的距离

 

即

      

 

      

即

 

整理得

当直线m垂直x轴时，也满足.

故直线m的方程为

或或

经检验上述直线均满足.

所以所求直线方程为或或

解法二：设M（），N（）.

当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得

 

∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点，

∴|MN|=|ME|+|NE|

=

 

以下与解法一相同.

解法三：设M（），N（）.

设直线，代入③，整理得

 

 

 

即

 

 

 

∴=，整理得      

 

解得或

 

故直线m的方程为或或

 

经检验上述直线方程为

 

所以所求直线方程为或或

 

【解析】略