Question

17．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，△ABC为等边三角形，且AB=$\sqrt{2}$BB₁=$\sqrt{2}$，则AB₁与C₁B所成的角的大小为（　　）

• A． 60°
• B． 90°
• C． 105°
• D． 75°

Answer 1

分析 根据条件可作出图形，并且得到B₁A₁=B₁B，根据向量的加法及数乘的几何意义便可得到$\overrightarrow{A{B}_{1}}=-（\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}+\overrightarrow{{B}_{1}B}）$，$\overrightarrow{{C}_{1}B}=-\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}+\overrightarrow{{B}_{1}B}$，从而可求得$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{{C}_{1}B}=0$，这样即可得出AB₁和C₁B所成角的大小．

解答 解：如图，根据条件，AB=$\sqrt{2}$，B₁B=1；
又$\overrightarrow{A{B}_{1}}=-（\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}+\overrightarrow{{B}_{1}B}）$，$\overrightarrow{{C}_{1}B}=-\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}+\overrightarrow{{B}_{1}B}$；
$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{{C}_{1}B}=\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$$-\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}B}+\overrightarrow{{B}_{1}B}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}-{\overrightarrow{{B}_{1}B}}^{2}$=1-1=0；
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}⊥\overrightarrow{{C}_{1}B}$；
∴AB₁和C₁B所成的角的大小为90°．
故选：B．

点评 考查三棱柱的定义，向量加法的平行四边形法则，向量加法和数乘的几何意义，以及向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，向量的方法求异面直线所成角的大小，以及异面直线所成角的概念．