Question

18．在圆x²+y²+4x+3=0的所有切线中，求在坐标轴上截距相等的切线方程．

Answer 1

分析 求出圆的标准方程，讨论直线是否过原点，利用待定系数法进行求解即可．

解答 解：圆的标准方程为（x+2）²+y²=1，
则圆心坐标为C（-2，0），半径R=1，
若切线过原点，满足在坐标轴上截距相等，
此时设切线方程为y=kx，即kx-y=0，
则圆心到直线的距离d=$\frac{|-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，
即4k²=1+k²，即k²=$\frac{1}{3}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．此时切线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
若切线不过原点，则设切线方程为x+y=a，
则圆心到直线的距离d=$\frac{|-2-a|}{\sqrt{2}}=1$，
即|a+2|=$\sqrt{2}$，即a=-2±$\sqrt{2}$，
此时切线方程为x+y+2±$\sqrt{2}$=0．
综上满足条件的切线方程为：$x+y+2±\sqrt{2}=0，x±\sqrt{3}y=0$

点评 本题主要考查直线和圆相切的位置关系的应用，根据直线截距相同，利用待定系数法是解决本题的关键．