Question

已知函数．
（1）求f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设，求cos2α的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用两角和的正弦公式及二倍角公式化简f（x）的解析式为 +sin（2x+），由此求得函数的最大值和周期．
（2）由条件可得sin（2α+）=，利用同角三角函数的基本关系求出cos（2α+ ）=，根据 cos2α=
cos[（2α+）-]，利用两角差的余弦公式求出结果．
解答：解：（1）f（x）==sinxcosx+cos²x=sin2x+ 
=+sin（2x+）．
故当2x+=2kπ+，k∈z时，函数的最大值为=，最小正周期等于=π．
（2）∵，∴+sin（2α+）=，sin（2α+）=．
由-≤2α+≤，可得 cos（2α+ ）=．
∴cos2α=cos[（2α+）-]=cos（2α+ ）cos+sin（2α+）sin 
=+=．
点评：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，正弦函数的周期性和最大值，二倍角公式的应用，属于中档题．