Question

（2012•绵阳二模）已知函数f（x）=x³-2ax²+bx，x∈R，a，b为常数，g（x）=-2x²+4x
（1）若曲线y=f（x）%y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线，求a，b的值；
（2）当b=4a-3且a＜

1

2

时，函数h（x）=f（x）+g（x）在（a-1，3-a²）上有最小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据曲线y=f（x）与y=g（x）在x=2处的切线的斜率相等，以及点（2，0）在f（x）的图象上建立方程组，解之即可求出所求；
（II）将b用a表示，然后利用导数研究在h（x）在（a-1，3-a²）上有极小值即为最小值，使极小值点在（a-1，3-a²）上，建立不等式关系，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）由g'（x）=-4x+4，
∴切线的斜率k=-4×2+4=-4．
又f′（x）=3x²-4ax+b，
所以切线斜率k=3×4-4a×2+b=12-8a+b．
由题意知-4=12-8a+b，
即8a-b=16．       ①
又点（2，0）在f（x）的图象上，即0=4-4a+b．    ②
由①②解得a=3，b=8．（5分）
（Ⅱ）由题意知h（x）=f（x）+g（x）=x³-（2a+2）x²+（4a+1）x，
由h′（x）=3x²-2（2a+2）x+4a+1=[3x-（4a+1）]（x-1），
得h′（x）=0的根为x₁=

4a+1

3

＜x₂=1（a＜

1

2

）．
当h′（x）＞0时，x＜

4a+1

3

或x＞1，
当h′（x）＜0时，

4a+1

3

＜x＜1，
∴h（x）在x=1处取得极小值为h（1）=2a．（8分）
由h（x）=2a，即x³-（2a+2）x²+（4a+1）x=2a，
可得x³-2ax²-2x²+4ax+x-2a=0，
即x³-2x²+x-2a（x-1）²=（x-1）²（x-2a）=0，
∴x=1或x=2a使得h（x）=2a．  （10分）
要使h（x）在（a-1，3-a²）上有最小值，
则2a≤a-1＜1＜3-a²，
解得-

2

＜a≤-1（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数求闭区间上函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．