【题目】在如图所示的几何体中,四边形是等腰梯形
,
,
.在梯形
中,
,且
,
,
平面
.
(Ⅰ)求证:.
(II)求四棱锥与三棱锥
体积的比值.
【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)在△ABC中,由已知结合余弦定理求解AC,再由勾股定理得到BC⊥AC.由EC⊥平面ABCD,得EC⊥BC,再由线面垂直的判定可得BC⊥平面ACEF,进一步得到BC⊥AF;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知∠CAB=30°,结合四边形ABCD为等腰梯形,且∠ABC=60°,得到∠CAD=∠ACD=30°,求得点D到平面ACEF距离为,分别求出四棱锥D﹣ACFE与三棱锥A﹣BCF的体积,则答案可求.
(I)证明:在中,
所以,由勾股定理知:
,故
又因为平面
,
平面
,所以
,而
,所以
平面
,又
平面
,所以
(II)由(I)知:在中,
,又∵四边形
为等腰梯形,且
,则
作因为
平面
,
平面
,
则平面平面
,
又平面
平面
,
平面
,故
平面
又,则
,
又,
∴,
综上所述:四棱锥与三棱锥
体积比值是
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆E的一个顶点为,焦点在x轴上,若椭圆的右焦点到直线
的距离是3.
求椭圆E的方程;
设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B,当弦AB的长度最大时,求直线l的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得
分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求的分布列;
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,表示“甲药的累计得分为
时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则
,
,
,其中
,
,
.假设
,
.
(i)证明:为等比数列;
(ii)求,并根据
的值解释这种试验方案的合理性.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】双曲线经过点
,两条渐近线的夹角为
,直线
交双曲线于
、
.
(1)求双曲线的方程;
(2)若过原点,
为双曲线上异于
、
的一点,且直线
、
的斜率为
、
,证明:
为定值;
(3)若过双曲线的右焦点
,是否存在
轴上的点
,使得直线
绕点
无论怎样转动,都有
成立?若存在,求出
的坐标,若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】图1是由矩形和菱形
组成的一个平面图形,其中
,
,将其沿
折起使得
与
重合,连结
,如图2.
(1)证明图2中的四点共面,且平面
平面
;
(2)求图2中的四边形的面积.
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