Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的左焦点为，右顶点为，上顶点为．

（1）已知椭圆的离心率为，线段中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；

（2）已知△外接圆的圆心在直线上，求椭圆的离心率的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用椭圆的离心率以及已知条件转化求解a，b即可得到椭圆方程．

（2）A（a，0），F（﹣c，0），求出线段AF的中垂线方程为：．推出，求出线段AB的中垂线方程，推出b＝c，然后求解椭圆的离心率即可．

（1）因为椭圆 的离心率为，

所以，则．

因为线段中点的横坐标为，

所以．

所以，则，．

所以椭圆的标准方程为．

（2）因为，

所以线段的中垂线方程为：．

又因为△外接圆的圆心C在直线上，

所以．因为，

所以线段的中垂线方程为：．

由C在线段的中垂线上，得，

整理得，，

即．

因为，所以．

所以椭圆的离心率．