【题目】已知函数.
(Ⅰ)若函数在
时取得极值,求实数
的值;
(Ⅱ)当时,求
零点的个数.
【答案】(Ⅰ)1;(Ⅱ)两个.
【解析】
(Ⅰ),由
,解得
,检验
时取得极小值即可;(II)令
,由
,得
,讨论单调性得
在
时取得极小值,并证明极小值为
.再由零点存在定理说明函数
在
和
上各有一个零点,即可解得
(I)定义域为
.
.
由已知,得,解得
.
当时,
.
所以.
所以减区间为
,增区间为
.
所以函数在
时取得极小值,其极小值为
,符合题意
所以.
(II)令,由
,得
.
所以.
所以减区间为
,增区间为
.
所以函数在
时取得极小值,其极小值为
.
因为,所以
.
所以.所以
.
因为,
又因为,所以
.
所以.
根据零点存在定理,函数在
上有且仅有一个零点.
因为,
.
令,得
.
又因为,所以
.
所以当时,
.
根据零点存在定理,函数在
上有且仅有一个零点.
所以,当时,
有两个零点.
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【题目】如图1,在△中,
,
分别为
,
的中点,
为
的中点,
,
.将△
沿
折起到△
的位置,使得平面
平面
,如图2.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求直线和平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点
,使得直线
和
所成角的余弦值为
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
图1 图2
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【题目】如图所示,为了保护环境,实现城市绿化,某房地产公司要在拆迁地长方形ABCD处规划一块长方形地面HPGC,建造住宅小区公园,但不能越过文物保护区三角形AEF的边线EF.已知AB=CD=200 m,BC=AD=160 m,AF=40 m,AE=60 m,问如何设计才能使公园占地面积最大,求出最大面积.
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【题目】下列命题正确的个数是( )
①命题已知或
,
,则
是
的充分不必要条件;
②“函数的最小正周期为
”是“
”的必要不充分条件;
③在
上恒成立
在
上恒成立;
④“平面向量与
的夹角是钝角”的充要条件是“
”
⑤命题函数
的值域为
,命题
函数
是减函数.若
或
为真命题,
且
为假命题,则实数
的取值范围是
.
A.1B.2C.3D.4
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【题目】已知函数f(x)=2sin2(x+)-2
cos(x-
)-5a+2.
(1)设t=sinx+cosx,将函数f(x)表示为关于t的函数g(t),求g(t)的解析式;
(2)对任意x∈[0,],不等式f(x)≥6-2a恒成立,求a的取值范围.
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【题目】已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,PD⊥AB,O是AD的中点,BO=CO.
(1)求证:AB⊥平面PAD;
(2)若AD=2AB=4, PA=PD,点M在侧棱PD上,且PD=3MD,二面角P-BC-D的大小为,求直线BP与平面MAC所成角的正弦值.
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