【题目】如图1,在△中,
,
分别为
,
的中点,
为
的中点,
,
.将△
沿
折起到△
的位置,使得平面
平面
,如图2.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求直线和平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点
,使得直线
和
所成角的余弦值为
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
图1 图2
【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ).(Ⅲ)
.
【解析】试题分析:第一问根据等腰三角形的特征,可以得出,再结合面面垂直的性质定理,可以得出
平面
,再根据线面垂直的性质,可以得出以
,之后根据面面垂直的性质和线面垂直的性质得出结果;第二问根据题中的条件,建立空间直角坐标系,利用空间向量求得结果;第三问关于是否存在类问题,都是假设其存在,结合向量所成角的余弦值求得结果.
(Ⅰ)因为在△中,
,
分别为
,
的中点,
所以 ,
.
所以,又
为
的中点,
所以 .
因为平面平面
,且
平面
,
所以 平面
,
所以 .
(Ⅱ)取的中点
,连接
,所以
.
由(Ⅰ)得,
.
如图建立空间直角坐标系.
由题意得,,
,
,
.
所以,
,
.
设平面的法向量为
,
则即
令,则
,
,所以
.
设直线和平面
所成的角为
,
则.
所以 直线和平面
所成角的正弦值为
.
(Ⅲ)线段上存在点
适合题意.
设,其中
.[10分]
设,则有
,
所以,从而
,
所以,又
,
所以.
令,
整理得.
解得,舍去
.
所以 线段上存在点
适合题意,且
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在矩形
中,
,
为
的中点,
为
的中点.将
沿
折起到
,使得平面
平面
(如图
).
图1 图2
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】判断下列命题的真假:
(1)是
的必要条件;
(2)是
的充要条件;
(3)两个三角形的两组对应角相等是这两个三角形相似的充要条件;
(4)三角形的三条边满足勾股定理是这个三角形为直角三角形的充要条件;
(5)在中,重心和垂心重合是
为等边三角形的必要条件;
(6)如果点到点
的距离相等,则点
一定在线段
的垂直平分线上.
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【题目】上周某校高三年级学生参加了数学测试,年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本,已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间,现将成绩按如下方式分成6组:第一组;第二组;……;第六组,并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这次月考数学成绩的平均分和众数;
(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名,求至少有1名学生的成绩在区间内的概率.
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【题目】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,|
|<
)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:
ωx+ | 0 | π | 2π | ||
x | |||||
Asin(ωx+ | 0 | 5 | -5 | 0 |
(1)请将上表数据补充完整,并求出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象.若关于x的方程g(x)-m=0在区间[0,
]上有两个不同的解,求实数m的取值范围.
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【题目】已知椭圆,如图所示点
为椭圆上任意三点.
(Ⅰ)若,是否存在实数
,使得代数式
为定值.若存在,求出实数
和
的值;若不存在,说明理由.
(Ⅱ)若,求三角形
面积的最大值;
(Ⅲ)满足(Ⅱ),且在三角形面积取得最大值的前提下,若线段
与椭圆长轴和短轴交于点
(
不是椭圆的顶点).判断四边形
的面积是否为定值.若是,求出定值;若不是,说明理由.
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【题目】如图,在各棱长均为2的三棱柱中,侧面
底面ABC,
.
(1)求侧棱与平面
所成角的正弦值的大小;
(2)已知点D满足,在直线
上是否存在点P,使DP∥平面
?若存在,请确定点P的位置,若不存在,请说明理由.
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