【题目】如图,在各棱长均为2的三棱柱中,侧面
底面ABC,
.
(1)求侧棱与平面
所成角的正弦值的大小;
(2)已知点D满足,在直线
上是否存在点P,使DP∥平面
?若存在,请确定点P的位置,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)恰好为
点.
【解析】
(1)建立空间直角坐标系,求出AA1向量,平面AA1C1C的法向量,然后求出侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小;
(2)在(1)的前提下,求出,设出P的坐标,使DP∥平面AB1C,即
与法向量共线,再求出P的坐标.
(1)∵侧面底面ABC,作A1O⊥AC于点O,
∴平面
.
又,且各棱长都相等,
∴,
,
.
故以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,
则,
,
,
,
∴,
,
.
设平面的法向量为
则,取
,得
.
设侧棱AA1与平面AB1C所成角的为θ,
则,
∴侧棱与平面
所成角的正弦值为
.
(2)∵,而
,
∴,又∵
,∴点
.
假设存在点P符合题意,则点P的坐标可设为,∴
∵DP∥平面,
为平面
的法向量,∴
,得z=
,
又由,得
,∴
.
又平面
,故存在点P,使DP∥平面
,其坐标为
,
即恰好为点.
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【题目】如图1,在△中,
,
分别为
,
的中点,
为
的中点,
,
.将△
沿
折起到△
的位置,使得平面
平面
,如图2.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求直线和平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点
,使得直线
和
所成角的余弦值为
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
图1 图2
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【题目】如图,已知三棱锥的三条侧棱
,
,
两两垂直,
为等边三角形,
为
内部一点,点
在
的延长线上,且
.
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)证明: ;
(Ⅲ)若,求二面角
的余弦值.
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【题目】如图,正方体的棱长为2,P为BC的中点,Q为线段
上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是______(写出所有正确命题的编号).
①当时,S为四边形;②当
时,S为等腰梯形;③当
时,S与
的交点R满足
;④当
时,S为五边形;⑤当
时,S的面积为
.
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【题目】如图所示,在四棱台ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2.
(1)若M为CD中点,求证:AM⊥平面AA1B1B;
(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值.
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【题目】已知数列的前
项和为
,
,数列
满足
点
在直线
上.
(1)求数列,
的通项
,
;
(2)令,求数列
的前
项和
;
(3)若,求对所有的正整数
都有
成立的
的范围.
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【题目】若数列共有k
项,且同时满足
,
,则称数列
为
数列.
(1)若等比数列为
数列,求
的值;
(2)已知为给定的正整数,且
,
①若公差为的等差数列
是
数列,求公差d;
②若数列的通项公式为
,其中常数
,判断数列
是否为
数列,并说明理由.
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【题目】治理大气污染刻不容缓,根据我国分布的《环境空气质量数(AQI)技术规定》:空气质量指数划分阶为0~50、51~100、101~150、151~200、201~300和大于300六级,对应于空气质量指数的六个级别,指数越大,级别越高,说明污染越严重,对人体健康的影响也越明显.专家建议:当空气质量指数小于时,可以户外运动;空气质量指数
及以上,不适合进行旅游等户外活动,以下是某市
年
月中旬的空气质量指数情况:
时间 | 11日 | 12日 | 13日 | 14日 | 15日 | 16日 | 17日 | 18日 | 19日 | 20日 |
AQI | 149 | 143 | 251 | 254 | 138 | 55 | 69 | 102 | 243 | 269 |
(1)求月中旬市民不适合进行户外活动的概率;
(2)一外地游客在月中旬来该市旅游,想连续游玩两天,求适合旅游的概率.
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