Question

【题目】若数列共有k项，且同时满足，，则称数列为数列.

（1）若等比数列为数列，求的值；

（2）已知为给定的正整数，且，

①若公差为的等差数列是数列，求公差d；

②若数列的通项公式为，其中常数，判断数列是否为数列，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②不是，详见解析

【解析】

（1）根据新定义结合等比数列即可求出的值；

（2）①设等差数列的公差为，根据新定义以及等差数列的性质即可求出公差的值；②若数列是数列，根据新定义，对的值分奇数和偶数两种情况讨论，即可判断出数列是否为数列.

（1）设等比数列的公比为，

∵数列为数列，∴，

∴，即，

∴，

又∵，∴，解得；

（2））①设等差数列的公差为，

∵数列是数列，

∴，即，

∵，∴，

∴，即，

又∵，且，

∴，

即，解得，

∴等差数列的公差为得；

②若数列是数列，则有：，，

∵，且，

∴（*），

（**），

当为偶数时，在（*）中，，，所以（*）不成立，

当m为奇数时，由（*）+（**）得：，

又∵，∴，解得，

∵为奇数，∴，

∴，整理得：，即，与矛盾，

综上可知，数列不是数列.