【题目】已知椭圆,如图所示点为椭圆上任意三点.
(Ⅰ)若,是否存在实数,使得代数式为定值.若存在,求出实数和的值;若不存在,说明理由.
(Ⅱ)若,求三角形面积的最大值;
(Ⅲ)满足(Ⅱ),且在三角形面积取得最大值的前提下,若线段与椭圆长轴和短轴交于点(不是椭圆的顶点).判断四边形的面积是否为定值.若是,求出定值;若不是,说明理由.
【答案】(1),(2)1(3)2
【解析】试题分析:(1)将坐标代入椭圆方程,根据,消去得(2)由,得联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理以及弦长公式求AB,根据点到直线距离公式求三角形高,再代入三角形面积公式,最后根据基本不等式求最值,(3)先求E,F坐标,再根据四边形面积公式求面积,计算结果为定值即可.
试题解析:(Ⅰ)由于,且;
得:
所以,即
故,存在实数使得.
(Ⅱ)当直线斜率不存在时,可设为;
联立方程组,得;
由,得,即, ;
当直线斜率存在时,可设为;
联立方程组,得;
由,得,
即,
, ;
等号成立时, ,即.
所以的最大值为1.
(Ⅲ)取得最大值时, ,此时直线与坐标轴的交点恰好分别是椭圆长轴和短轴各一个端点;
不妨取, ,若线段与椭圆长轴和短轴交于点(不是椭圆与坐标轴的交点).
此时点定在第三象限,即;
直线的方程为,令,得
同理,得
四边形的面积为:
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【题目】为了了解某省各景点在大众中的熟知度,随机对15~65岁的人群抽样了人,回答问题“某省有哪几个著名的旅游景点?”统计结果如下图表
组号 | 分组 | 回答正确 的人数 | 回答正确的人数 占本组的频率 |
第1组 | [15,25) | 0.5 | |
第2组 | [25,35) | 18 | |
第3组 | [35,45) | 0.9 | |
第4组 | [45,55) | 9 | 0.36 |
第5组 | [55,65] | 3 |
(1)分别求出的值;
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,求第2,3,4组每组各抽取多少人?
(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人,求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.
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【题目】如图1,在△中,,分别为,的中点,为的中点,,.将△沿折起到△的位置,使得平面平面,如图2.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求直线和平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使得直线和所成角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
图1 图2
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【题目】已知圆C1:x2+y2=b2与椭圆C2:=1(a>b>0),若在椭圆C2上存在一点P,使得由点P所作的圆C1的两条切线互相垂直,则椭圆C2的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
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【题目】某市A,B,C,D四所中学报名参加某高校2015年自主招生考试的学生人数如下表所示:
中学 | A | B | C | D |
人数 | 40 | 30 | 10 | 20 |
该市教委为了解参加考试的学生的学习状况,采用分层抽样的方法从四所中学报名参加考试的学生中随机抽取50名参加问卷调查.则A,B,C,D四所中学抽取的学生人数分别为( )
A.15,20,10,5B.15,20,5,10
C.20,15,10,5D.20,15,5,10
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【题目】已知,函数(是自然对数的底数).
(Ⅰ)若,证明:曲线没有经过点的切线;
(Ⅱ)若函数在其定义域上不单调,求的取值范围;
(Ⅲ)是否存在正整数,当时,函数的图象在轴的上方,若存在,求的值;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,已知三棱锥的三条侧棱, , 两两垂直, 为等边三角形, 为内部一点,点在的延长线上,且.
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)证明: ;
(Ⅲ)若,求二面角的余弦值.
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【题目】如图,正方体的棱长为2,P为BC的中点,Q为线段上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是______(写出所有正确命题的编号).
①当时,S为四边形;②当时,S为等腰梯形;③当时,S与的交点R满足;④当时,S为五边形;⑤当时,S的面积为.
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【题目】治理大气污染刻不容缓,根据我国分布的《环境空气质量数(AQI)技术规定》:空气质量指数划分阶为0~50、51~100、101~150、151~200、201~300和大于300六级,对应于空气质量指数的六个级别,指数越大,级别越高,说明污染越严重,对人体健康的影响也越明显.专家建议:当空气质量指数小于时,可以户外运动;空气质量指数及以上,不适合进行旅游等户外活动,以下是某市年月中旬的空气质量指数情况:
时间 | 11日 | 12日 | 13日 | 14日 | 15日 | 16日 | 17日 | 18日 | 19日 | 20日 |
AQI | 149 | 143 | 251 | 254 | 138 | 55 | 69 | 102 | 243 | 269 |
(1)求月中旬市民不适合进行户外活动的概率;
(2)一外地游客在月中旬来该市旅游,想连续游玩两天,求适合旅游的概率.
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