【题目】如图,在矩形
中,
,
为
的中点,
为
的中点.将
沿
折起到
,使得平面
平面
(如图
).
图1 图2
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) ;(Ⅲ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据等腰三角形的性质可得,由平面
平面
可得
平面
,从而可得
;(Ⅱ)取
中点为
,连结
,由矩形
性质,
,可知
,由(Ⅰ)可知,
,以
为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立坐标系,求出平面
的一个法向量及直线
的方向向量,利用空间向量夹角余弦公式可得结果;(Ⅲ)假设在线段
上存在点
,满足
平面
,设
,利用直线与平面的法向量垂直,数量积为零,列方程求解即可.
.
试题解析:(Ⅰ)如图,在矩形中,
,
为
中点,
,
为
的中点,
由题意可知, ,
平面平面
图1 图2
平面
平面
,
平面
,
平面
,
平面
,
,
(Ⅱ)取中点为
,连结
,
由矩形性质,
,可知
,
由(Ⅰ)可知, ,
以为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立坐标系,
在中,由
,则
,
所以
,
,
设平面的一个法向量为
,
则,
令
,则
,
所以,
设直线与平面
所成角为
,
,
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
(Ⅲ)假设在线段上存在点
,满足
平面
设,
由,,所以
,
,
,
若平面
,则
,
所以,解得
,
所以.
【方法点晴】本题主要考查面面垂直的性质以及利用空间向量求线面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:
(1)根据箱产量的频率分布直方图填写下面列联表,从等高条形图中判断箱产量是否与新、旧网箱养殖方法有关;
(2)根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关?
箱产量<50kg | 箱产量≥50kg | |
旧养殖法 | ||
新养殖法 |
参考公式:
(1)给定临界值表
P(K | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(2)其中
为样本容量.
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【题目】判断下列命题的真假:
(1)存在两个无理数,它们的乘积是有理数;
(2)如果实数集的子集A是有限集,则A中的元素一定有最大值;
(3)没有一个无理数不是实数;
(4)如果一个四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形;
(5)集合A是集合的子集;
(6)集合是集合A的子集.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过椭圆的左焦点的直线
与椭圆
交于
两点,直线
过坐标原点且与直线
的斜率互为相反数.若直线
与椭圆交于
两点且均不与点
重合,设直线
与
轴所成的锐角为
,直线
与
轴所成的锐角为
,判断
与
的大小关系并加以证明.
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【题目】已知圆C:.
(1)求经过点且与圆C相切的直线方程;
(2)设直线与圆C相交于A,B两点,若
,求实数n的值;
(3)若点在以
为圆心,以1为半径的圆上,距离为4的两点P,Q在圆C上,求
的最小值.
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【题目】为了了解某省各景点在大众中的熟知度,随机对15~65岁的人群抽样了人,回答问题“某省有哪几个著名的旅游景点?”统计结果如下图表
组号 | 分组 | 回答正确 的人数 | 回答正确的人数 占本组的频率 |
第1组 | [15,25) | 0.5 | |
第2组 | [25,35) | 18 | |
第3组 | [35,45) | 0.9 | |
第4组 | [45,55) | 9 | 0.36 |
第5组 | [55,65] | 3 |
(1)分别求出的值;
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,求第2,3,4组每组各抽取多少人?
(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人,求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.
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【题目】如图1,在△中,
,
分别为
,
的中点,
为
的中点,
,
.将△
沿
折起到△
的位置,使得平面
平面
,如图2.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求直线和平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点
,使得直线
和
所成角的余弦值为
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
图1 图2
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