Question

14．若关于x的方程x²-mx+2=0在区间[1，2]上有解，则实数m的取值范围是[2$\sqrt{2}$，3]．

Answer 1

分析 利用数形结合，得到函数在区间上有解的两种情况，由判别式和对称轴以及两个端点处的函数值，得到未知量m的范围．

解答 解：∵方程x²-mx+2=0在区间[1，2]上有解
∴函数f（x）=x²-mx+2在区间[1，2]上与x轴相交
①有1个交点时，满足
$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{f（1）f（2）≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{△=0}\\{1≤\frac{m}{2}≤2}\end{array}\right.$
∴m=3或m=2$\sqrt{2}$
②有2个交点时，满足$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{f（1）≥0}\\{f（2）≥0}\\{1≤\frac{m}{2}≤2}\end{array}\right.$，
∴2$\sqrt{2}$＜m≤3．
综上所述，得m的取值范围是$[2\sqrt{2}，3]$．

点评 本题考查利用数形结合，得到函数在区间上有解的两种情况，考查二次函数的判别式和对称轴以及两个端点处的函数值，得到未知量m的范围．