Question

4．已知函数f（x）=$\frac{1+ln（x+1）}{x}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；
（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞$\frac{k}{x+1}$恒成立，求正整数k的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1）即可；
（Ⅱ）问题转化为$h（x）=\frac{（x+1）[1+ln（x+1）]}{x}＞k$对x＞0恒成立，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出正整数k的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{\frac{x}{x+1}-ln（x+1）}{{x}^{2}}$，
∴$f'（1）=-1+\frac{1}{2}-ln2=-（\frac{1}{2}+ln2）$…（3分）
（Ⅱ）当x＞0时，$f（x）＞\frac{k}{x+1}$恒成立，
即$h（x）=\frac{（x+1）[1+ln（x+1）]}{x}＞k$对x＞0恒成立．
即h（x）（x＞0）的最小值大于k．…（5分），
$h'（x）=\frac{x-1-ln（x+1）}{x^2}$，记ϕ（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0）
则$ϕ'（x）=\frac{x}{x+1}＞0$，所以ϕ（x）在（0，+∞）上连续递增．…（7分）
又ϕ（2）=1-ln3＜0，ϕ（3）=2-2ln2＞0，
所以ϕ（x）存在唯一零点x₀，
且满足x₀∈（2，3），x₀=1+ln（x₀+1）．…（9分）
由x＞x₀时，ϕ（x）＞0，h'（x）＞0；
0＜x＜x₀时，ϕ（x）＜0，h'（x）＜0知：
h（x）的最小值为$h（{x_0}）=\frac{{（{x_0}+1）[1+ln（{x_0}+1）]}}{x_0}={x_0}+1∈（3，4）$．
所以正整数k的最大值为3．…（12分）

点评 本题考查了导数的应用，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．