Question

16．如图所示的几何体由平面PECF截棱长为2的正方体得到，其中P、C为原正方体的顶点，E、F为原正方体侧棱的中点，正方形ABCD为原正方体的底面，点G为线段BC上的动点．
（1）求证：平面APC⊥平面PECF；
（2）设$\overrightarrow{BG}$=λ$\overrightarrow{BC}$，AB与平面EFG所成的角为θ，当θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）时，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据正方体的结构特征可证BD⊥平面PAC，由四边形BEFD为平行四边形得出BD∥EF，故EF∥平面PAC，于是平面APC⊥平面PECF；
（2）以D为原点建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{AB}$和平面EFG的法向量$\overrightarrow{n}$的坐标，则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AB}$＞|，根据θ的范围得出不等式组解出λ．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD．
又AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC，
∵BE$\stackrel{∥}{=}$DF，∴四边形BEFD是平行四边形，
∴EF∥BD．
∴EF⊥平面PAC．
∵EF?平面PECF，
∴平面APC⊥平面PECF．
（2）以D为原点，以DC，DA，DF为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则A（0，2，0），B（2，2，0），E（2，2，1），F（0，0，1），G（2，2-2λ，0）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{EF}$=（-2，-2，0），$\overrightarrow{GE}$=（0，2λ，1）．
设平面EFG的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GE}=0}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2x-2y=0}\\{2λy+z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2λ）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{1}{\sqrt{4{λ}^{2}+2}}$．
∴sinθ=$\frac{1}{\sqrt{4{λ}^{2}+2}}$，∵θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），∴$\frac{1}{2}＜$$\frac{1}{\sqrt{4{λ}^{2}+2}}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得0＜λ＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴λ的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．