Question

16．设连续函数f（x）满足f（x）=x-2${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，求f（x）．

Answer 1

分析 根据${∫}_{0}^{1}$f（x）dx是常数，得出f（x）是一次函数，利用待定系数法即可求出f（x）的解析式．

解答 解：∵f（x）为连续函数，且f（x）=x-2${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，
不妨设2${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=b（b为常数），
∴f（x）=x-b，
∴f（x）=x-2${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=x-2${∫}_{0}^{1}$（x-b）dx
=x-2$（\frac{1}{2}{x}^{2}-bx）{|}_{0}^{1}$=x-1+2b，
∴-b=-1+2b，解得b=$\frac{1}{3}$，
∴f（x）=x-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了利用待定系数法求函数解析式的应用问题，考查了定积分简单应用，是中档题．