Question

8．实数x、y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥3}\\{x≤2}\\{y≤2}\end{array}\right.$ 则函数z=$\frac{x+y}{3x-y}$的值域为[$\frac{3}{5}，3$]．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，把z=$\frac{x+y}{3x-y}$分子分母同时除以x，转化为z=$\frac{1+\frac{y}{x}}{3-\frac{y}{x}}$，令t=$\frac{y}{x}$，由可行域求出t的范围，则答案可求．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥3}\\{x≤2}\\{y≤2}\end{array}\right.$ 作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y=3}\end{array}\right.$，解得A（2，1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x+y=3}\end{array}\right.$，解得B（1，2），
∴${k}_{OA}=\frac{1}{2}，{k}_{OB}=2$．
则z=$\frac{x+y}{3x-y}$=$\frac{1+\frac{y}{x}}{3-\frac{y}{x}}$，令t=$\frac{y}{x}$，则t∈[$\frac{1}{2}$，2]．
则z=$\frac{t+1}{3-t}=-\frac{t-3+4}{t-3}=-1-\frac{4}{t-3}$．
∵t∈[$\frac{1}{2}$，2]，∴t-3∈[-$\frac{5}{2}，-1$]，
则z∈[$\frac{3}{5}，3$]．
故答案为：[$\frac{3}{5}，3$]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．